Mükemmel kare sayı nedir? Nasıl tanınır ve detaylı örnekler

Mükemmel kare sayı, bir tam sayının karesine eşit olan sayıdır. Bu sayı türünü daha iyi anlayabilmek için aşağıdaki yazımızda kare sayıların özelliklerini, tanınmasını ve hesaplanmasını öğrenelim.

İçindekiler

• Mükemmel kare sayı nedir?
  • Kare sayılar nasıl belirlenir
  • Kare sayıların bölünebilirliği
  • En küçük kare sayı
  • En büyük kare sayı
  • İki kare sayının farkını hesaplamak için özdeş sabit
  • Kare sayıların özellikleri
• Kare sayılar
• Mükemmel kare sayılara örnekler
• Kare sayılarla ilgili alıştırmalar

Mükemmel kare sayı nedir?

Tam kare sayı, bir tam sayının tam karesine eşit olan sayıdır. Ya da daha basit bir ifadeyle, mükemmel kare sayı, karekökü de bir doğal sayı olan doğal sayıdır.

Tam sayılar pozitif tam sayıları (1, 2, 3,…), negatif tam sayıları (-1, -2, -3,…) ve 0'ı içerir. Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir.

Oysa bir kare sayının karekökü yalnızca doğal değerlere, yani pozitif tam sayılara sahiptir.

Örneğin:

4 sayısı tam karedir çünkü 2 sayısının karesi 4'tür.

9, tam kare bir sayıdır (çünkü 9, 3'ün karesine eşittir).

Kare sayılar nasıl belirlenir

1. Son rakama bakın : Mükemmel kare sayıların son rakamı 0, 1, 4, 5, 6, 9'dur. 2, 3, 7, 8 ile biten sayılara mükemmel kare sayı denmez.

2. Son rakama bakın: Mükemmel kare bir sayı yalnızca 2 formdan birine sahip olabilir: 4n veya 4n + 1, hiçbir mükemmel kare sayı 4n + 2 veya 4n + 3 (n € N ile) formuna sahip değildir.

Örneğin: n = 1 ise kare sayı 4 x n = 4 biçimindedir. Veya n = 2 ise kare sayı 4 x 2 + 1 = 9 biçimindedir.

4 x 2 + 2 = 10 veya 4 x 2 + 3 = 11 şeklinde olamaz.

3. Mükemmel kare bir sayının onlar basamağının son basamağı 1 veya 9 olsa bile, onlar basamağı çifttir.

Örnek: 81 sayısının karesi (9'un karesi).

4. 5 ile biten mükemmel kare bir sayının onlar basamağı 2'dir.

Örnek: 225 sayısının karesi (15'in karesi).

5. Eğer mükemmel kare sayı 4 ile bitiyorsa, onlar basamağı çift sayıdır.

Örnek: 64 sayısının karesi (8'in karesi).

6. Eğer kare sayı 6 ile bitiyorsa onlar basamağı tektir.

Örnek: 16 sayısının karesi (4'ün karesi).

7. Asal çarpanlarına ayrıldığında, mükemmel kare bir sayı yalnızca çift üslü asal çarpanlardan oluşur.

Örnek: 16 sayısının karesi = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4.

Kare sayıların bölünebilirliği

Bir asal sayı olan p'ye bölünebilen mükemmel kare bir sayı, aynı zamanda p^2'ye de bölünebilir; ya da tam tersi.

• 2'ye bölünebilen mükemmel kare bir sayı 2^2 = 4'e de bölünebilir.
• 3 ile bölünebilen mükemmel kare bir sayı 3^2 = 9 ile de bölünebilir.
• 5 ile bölünebilen mükemmel kare bir sayı 5^2 = 25 ile de bölünebilir.
• 8'e bölünebilen mükemmel kare bir sayı (= 2^3), 2^4 = 16'ya (bir sayının kuvveti olarak yazılır) da bölünebilir.
• 36 ( 6^2 ) kare sayısı 2'ye bölünebilir => 36, 4'e bölünebilir ( 2^2 )
• 144 (12^2) kare sayısı 3'e bölünebilir (144:3=48) => 144 9'a bölünebilir (144:9=16)

En küçük kare sayı

Tam kare sayılar kümesindeki en küçük tam kare sayı 0'dır. 0 ile 100 arasındaki sayı aralığında 100'den küçük 10 tane tam kare sayı vardır. Bunlar: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 sayılarını içerir.

En büyük kare sayı

• En büyük 1 basamaklı kare sayı 9'dur.
• En büyük iki basamaklı kare sayı 81'dir.
• En büyük üç basamaklı kare sayı 312'dir.
• En büyük 4 basamaklı kare sayı 9801'dir
• En büyük 5 basamaklı kare sayı 99856'dır

İki kare sayının farkını hesaplamak için özdeş sabit

Örneğin:

Kare sayıların özellikleri

• İki sayının karesi farkını hesaplama formülü: a^2 - b^2 = (ab)(a+b).
• Bir kare sayı bir asal sayıya bölünebiliyorsa, o asal sayının karesine de bölünebilir.

Örnek: 18 sayısının karesi 3 ile tam bölünüyorsa, 3'ün karesi olan 9 ile de tam bölünür.

Kare sayılar

2 çeşit kare sayı vardır:

Mükemmel kare sayılara örnekler

4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,100, … sayıları tam kare sayılardır.

4 = 2² çift kare bir sayıdır.

9 = 3² tek kare bir sayıdır.

16 = 4² çift kare bir sayıdır.

25 = 5² tek kare bir sayıdır.

36 = 6² çift kare bir sayıdır.

49 = 7² tek kare bir sayıdır.

64 = 8² çift kare bir sayıdır.

81 = 9² tek kare bir sayıdır.

100 = 10² çift kare bir sayıdır.

Not: 0 ve 1 sayıları da kare sayılardır.

Kare sayılarla ilgili alıştırmalar

Ders 1 : Aşağıdaki sayı dizisinde hangisi tam kare sayıdır: 9, 81, 790, 408, 121, 380, 2502, 441, 560.

Çözüm: Mükemmel kare sayılar şunlardır: 9 (3²), 81 (9²), 121 (11²), 441 (21²).

Ders 2:  1234567890 sayısının tam kare sayı olmadığını ispatlayın.

Çözüm: 1234567890 sayısı 5 ile bölünebilir (çünkü son rakamı 0'dır) fakat 25 ile bölünemez (çünkü son iki rakamı 90'dır). Bu nedenle 1234567890 sayısı tam kare bir sayı değildir.

Ders 3 : B = 4n^4 + 4n³ + n² sayısının her pozitif n tam sayısının tam karesi olduğunu kanıtlayın.

Çözüm:

B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1)= n²(2n + 1)²

B'nin iki karenin çarpımı olarak gösterilebileceğini görüyoruz. Veya B = [n(2n+1)]² ve n(2n + 1) bir tam sayıdır. Yani sonuç olarak B bir tam kare sayıdır.

Ders 4: 

Aşağıdaki sayının tam kare olmasını sağlayacak bir n doğal sayısı bulun: B = n² + 4n + 1.

Çözüm:

B sayısı tam kare olduğundan n² + 4n + 1 = b²'yi koyarız

= 4n²+16n+4=4b²

= (4n²+16n+16)-16+4=4b²

= (2n+4)²- 4b² = 12

= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12

Dikkat edin 2n+4+2b 2n+4-2b ve bunların hepsi pozitif tam sayılardır. Böylece karşılık gelen sayı çiftlerini bulabiliriz: (12, 1), (6, 2) ve (4, 3). n ve b'yi bulmak için her bir durumu göz önünde bulundurmanız gerekir. Özellikle:

• Durum 1: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 = n = 5/4, b = 11/4
• Durum 2: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 = n = 0, b = 1
• Durum 3: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 = n = -1/4, b = 1/4

Ancak n bir doğal sayıdır, dolayısıyla yalnızca n = 0, b = 1 yanıtları tatmin edicidir. Ve n = 0, dolayısıyla kare sayı B = 1.

Umarım yukarıdaki makale, mükemmel kare sayının ne olduğunu, 0'ın mükemmel kare sayı olup olmadığını ve mükemmel kare sayıların özelliklerini ve karakteristiklerini anlamanıza yardımcı olacak yararlı bilgiler sağlamıştır. Oradan kare sayılarla ilgili problemleri ve konuları çözmek için daha fazla bilgi sahibi olacaksınız.

Karesel sayıların yanı sıra, karma sayılar , kesirler gibi matematikteki diğer sayı türlerini de öğrenebilirsiniz .