Ortosantr nedir? Bir üçgende diklik merkezini belirleyin

Bir üçgenin diklik merkezi, üç yüksekliğin kesişim noktasıdır ; yani üçgenin her köşesinden karşı kenarına doğru çizilen doğruların kesişimi dik açı oluşturur. Yüksekliğin uzunluğu, en üst nokta ile en alt nokta arasındaki mesafedir.

Bir üçgenin ortosantrı

• Ortosantr nedir?
• Bir üçgenin diklik merkezi nasıl belirlenir
• Bir üçgenin diklik merkezinin özellikleri
• Bir üçgenin diklik merkezini belirleme ve kanıtlama alıştırmaları

Ortosantr nedir?

Bir üçgenin üç yüksekliği bir noktada kesişir. İşte bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir .

Özellikle: Çizimde yükseklikler, üçgenin diklik merkezi bulunmaktadır.

Bir üçgenin diklik merkezi nasıl belirlenir

Bir üçgenin diklik merkezini bulmak için, o üçgendeki iki yüksekliğin kesişim noktasını buluruz.

Not:  a) Üçgen dar açılı bir üçgen ise diklik merkezi üçgenin içinde yer alır.

b) Eğer üçgen dik üçgen ise diklik merkezi noktası ile çakışır.

c) Eğer bir üçgen geniş açılı bir üçgen ise diklik merkezi üçgenin dışında yer alır.

Bir üçgenin diklik merkezinin özellikleri

Özellik 1:  Eşkenar üçgende, ağırlık merkezi, diklik merkezi, üçgenin üç köşesinden eşit uzaklıktaki bir nokta, üçgenin içindeki bir nokta ve üçgenin üç kenarından eşit uzaklıktaki dört çakışık nokta vardır.

Özellik 2:  Diklik merkezi, iki kenarın dik açıortayını eşit uzunlukta iki parçaya böler. Bu, diklik merkezinin üçgenin köşelerine aynı uzaklıkta olduğu anlamına gelir.

Özellik 3:  Diklik merkezi, bir üçgenin çevrel çemberinin merkezidir; yani, bir üçgenin üç köşesinden geçen bir çember çizersek, diklik merkezi o çemberin merkezi olacaktır.

Özellik 4:  Dar açılı bir üçgenin diklik merkezi üçgenin içinde, geniş açılı bir üçgenin diklik merkezi ise üçgenin dışında yer alır.

Özellik 5:  Bir dik üçgenin diklik merkezi, o dik üçgenin dik açısının tepe noktasına denk gelir.

Özellik 6:  Diklik merkezi, bir üçgende diklik merkezinden üçgenin köşelerine doğru çizilen doğruların uzunluklarının toplamının en küçük olduğu tek noktadır. Bu, diklik merkezinin üçgenin köşelerine diğer noktalardan daha yakın olduğu anlamına gelir.

Özellik 7: Diklik merkezi aynı zamanda üçgenin çevrel çemberinin, yani üçgenin üç köşesinden çizilebilecek en büyük çemberin merkezidir.

Bir üçgenin diklik merkezini belirleme ve kanıtlama alıştırmaları

Örnek: Kare olmayan bir değer verildiğinde. Buna ortosentr denir. Üçgenin yüksekliklerini gösterin. Buradan o üçgenin diklik merkezini belirtin.

Çözüm kılavuzu

İllüstrasyon

ΔABC'den çizilen dikmelerin ayakları olsun.

ΔHBC'yi şu şekilde düşünelim:

yani AD, H'den BC'ye olan yüksekliktir.

F'de BA, B'den HC'ye olan yüksekliktir

E noktasında CA, C'den HB'ye olan yüksekliktir.

A noktasında kesiştiklerinden A, ΔHCB'nin diklik merkezidir.

Örnek: Yüksekliği olan bir dik üçgen verilsin. Orta noktası olsun, orta noktası olsun. Üçgenin diklik merkezini belirleyiniz.

Çözüm kılavuzu

Alt problemi ele alalım; üçgenin orta noktaları sırasıyla ve AC ise ve .

Gerçekten, ışının zıt yönünde öyle bir nokta alın ki,

AMN üçgenini ve CPN üçgenini ele alalım.

(zıt)

, (iki kenar ve iki karşılık gelen açı)

İki açı alternatif pozisyonlardadır, bu nedenle

=>(iki alternatif iç açı)

Üçgen BMC ve üçgen PCM'yi ele alalım.

(cmt)

MC ortak bir kenardır

, (karşılık gelen kenarlar ve açılar)

İki açı alternatif pozisyonlardadır, bu nedenle

Tekrar bizde

Üçgen HAB'ı şu şekilde düşünelim:

(yukarıda kanıtlandığı gibi)

ADE üçgenini ele alalım.

Öte yandan ve

ADE üçgeninin yüksekliği nedir

C, AC ve DC'nin kesişim noktasıdır

=> C, ADE üçgeninin diklik merkezidir

Örneğin: A noktasında bir ölçek verildiğinde, yükseklik medyanı noktasında keser. Kanıtlayın ve hesaplayın?

Talimat vermek

İllüstrasyon

Çünkü denge A'da ve AM medyandır

⇒ AM aynı zamanda BC'ye karşılık gelen yüksekliktir

M.'de

Diğer taraftan, ve dolayısıyla K, diklik merkezidir.

Dolayısıyla K, ∆ABC'nin C'den yüksekliğine aittir.

Sahibiz: