Kombinasyonlar, permütasyonlar ve permütasyonlar için formüller

Kombinasyon ve permütasyon hesaplama formülü nedir? Makalede kombinasyonların ve diğer ilgili formüllerin nasıl hesaplanacağı anlatılacaktır .

Permütasyon ve Kombinasyon, bir grup veya kümeden öğeleri seçmeyi içeren matematiğin en temel kavramlarıdır.

• Permutasyon, belirli bir gruptan seçilme sırasına göre öğelerin düzenlenmesidir.
• Kombinasyon, sıra gözetmeksizin öğelerin seçilmesidir.

İçindekiler

• Kombinasyonel formül
• Permutasyon formülü
• Permutasyon 

Kombinasyonel formül

n elemanlı bir A kümesi ve bir k tam sayısı verildiğinde, (1 ≤ k ≤ n). A kümesinin k elemanlı her bir altkümesine, A kümesinin n elemanlı k katlı birleşimi denir.

n'nin K-kombinasyon formülü

Bir kombinasyonun özelliklerinin formülü:

Kombinatorik örnekleri

Örnek 1: 

12 kişilik bir öğrenci grubu. Kaç tane yol var:

a) Grup için 2 temsilci seçin

b) 2 kişiyi seçip, takım lideri ve takım lideri yardımcısı pozisyonlarını atayın.

c) Grubu, grup lideri ve grup lideri yardımcısı farklı gruplarda olacak şekilde 2 gruba ayırın.

Çözüm

a) 12 arkadaştan 2 tanesini, 12'nin 2'sinin kombinasyonu olacak şekilde seç: C122 = 66 yol.

b) 2 kişi seçip 12'den 2'sini birleştirme pozisyonunu atayın: A122 = 132 yol.

c) Grubu 2 gruba ayırın, her grupta 6 kişi olsun.

Takım lideri ve takım lideri yardımcısının farklı gruplarda olduğu.

Kalan 10 arkadaştan takım lideriyle aynı grupta olacak 5 arkadaş seç: C105 = 252 yol.

Kalan 5 kişiden, yardımcı liderle aynı grupta yer alacak 5 kişi seçin: C55 = 1 yol.

Yani 252.1 = 252 yol var.

Permutasyon formülü

n elemanlı bir A kümesi ve bir k tam sayısı verildiğinde, (1 ≤ k ≤ n). A'nın k elemanını alıp bir sıraya koyduğumuzda, A'nın n elemanının k katlı bir bozulması elde ederiz (buna A'nın k elemanının n katlı bozulması denir).

n elemanlı bir kümenin k-permütasyonlarının sayısı:

Permutasyon formülü:

• Bazı kurallar: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
• Özellikler: Bu sıralı bir sıralama olup sıralanacak eleman sayısı k: 0 ≤ k ≤ n'dir.

Örneğin: 

0'dan 9'a kadar olan rakamlardan. Aşağıdaki koşulları sağlayan bir doğal sayıyı oluşturmanın kaç yolu vardır?

a) 6 farklı rakamdan oluşan sayı

b) 6 farklı rakamdan oluşan ve 10 ile bölünebilen bir sayı

c) Tek sayıların 6 farklı rakamı vardır.

Çözüm

a) 6 farklı basamaklı bir sayı oluşturun

1'den 9'a kadar olan sayıların ilk rakamını seçin: Seçmenin 9 yolu var

Kalan rakamlar, A95 ile kalan 9 sayının (ilk rakam hariç) 5. permütasyonudur.

Yani 9A95 = 136080 sayısı var.

b) 6 farklı rakamdan oluşan ve 10 ile bölünebilen bir sayı

Birim rakamını seçin: 0 rakamını seçmenin 1 yolu vardır

Kalan rakamları, A95 ile kalan 9 sayının (0 rakamı hariç) 5. permütasyonu olarak seçin

Yani A95 = 15120 sayısı var.

c) Sayının 0'dan 9'a kadar olan rakamlardan oluşan 6 farklı rakamdan oluşan tek bir sayı olduğunu varsayalım.

Tek sayı olduğundan , f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

f'yi seçin: Seçmenin 5 yolu var

Rakamlardan {1;'i seçin 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: Seçmenin 8 yolu vardır

Kalan 8 rakamın (f ve a hariç) 4-kompleksleri olarak b, c, d, e'yi seçin: A84'e sahibiz

Yani 5.8A84 = 67200 adet sayı var.

Permutasyon

a) Tanım:

- n elemanlı bir A kümesi (n ≥ 1) verildiğinde.

A kümesinin n elemanlı bir sıralanmasının her sonucuna n elemanlı bir permütasyon denir.

- Not: n elemanlı iki permütasyonun yalnızca diziliş sırası farklıdır.

b) Permütasyon sayısı:

- Pn sembolü n elemanlı bir dizinin permütasyon sayısını gösterir.

Permutasyon formülü:

Pn = n(n – 1)…2,1 = n!

Sözleşme: 0! = 1; 1! = 1.

Örnek:  5 erkek ve 5 kız olmak üzere 10 kişiyi bir banka oturtun. Aşağıdakileri sağlayacak şekilde düzenlemenin kaç yolu vardır:

a) Herhangi birini sıralayın

b) Çocuklar yan yana oturuyorlar.

c) Erkekler ve kızlar dönüşümlü olarak otururlar.

Çözüm

a) 10 kişinin bir banka oturması için gerekli düzenek 10: 10! şeklindedir.

b) Çocukları yan yana oturt. 5 çocuğu bir "demet"e koyuyoruz: 5 tane var! "paket"in içinde nasıl düzenleme yapılır

Daha sonra 5 kızı bir "demet" halinde bir banka oturtun: 6! nasıl düzenlenir

Yani 5 tane var! . 6! = Çocukların yan yana oturmasını sağlayacak 86400 farklı yol.

c) 1'den 10'a kadar numaralandırılmış sıralara 10 kişi oturtulduğunu varsayalım.

Erkek ve kız çocukları arasında dönüşümlü olarak

+ Durum 1: Erkekler tek pozisyonlarda otururken, kızlar çift pozisyonlarda oturuyor

Çocukları yerleştirmenin yol sayısı: 5!

Kızları yerleştirmenin yol sayısı: 5!

Yani 5 tane var! . 5! nasıl düzenlenir

+ Durum 2: Erkekler eşit pozisyonlarda otururken, kızlar tek pozisyonlarda oturur

Yukarıdaki duruma benzer şekilde 5! . 5! nasıl düzenlenir

Yani 2,5 var! . 5! = 28800 düzenleme yolu.

Permütasyon ve kombinasyon arasındaki fark

Permütasyon ile kombinasyon arasındaki farkı aşağıdaki tablodan anlayabiliriz:

Diğer matematik formülleri hakkında daha fazla bilgi edinmek için Quantrimang.com'un Eğitim ve Öğrenme bölümünü ziyaret edebilirsiniz .