Dönen bir katının hacmini hesaplama formülü ve açıklayıcı örnekler

Dönen blok nedir? Dönen bir katının hacmi nasıl hesaplanır?

Bir dönel katı, bir düzlemin sabit bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşturulan bir şekildir, örneğin bir dönel koni, bir dönel silindir, bir dönel küre, vb. Dönel bir katının hacmini hesaplamak için formül aşağıdadır, lütfen ona bakın.

İçindekiler

• Öküz ekseni etrafında döndürülen dairesel bir bloğun hacmini hesaplayın
• Oy ekseni etrafında döndürülen dairesel bir bloğun hacmini hesaplayın
• Dönen katının hacminin hesaplanmasına örnek

Öküz ekseni etrafında döndürülen dairesel bir bloğun hacmini hesaplayın

Dairesel blok Öküz ekseni etrafında dönüyorsa, dönen dairesel bloğun hacmini hesaplamak için aşağıdaki formüller uygulanabilir:

Durum 1 : Aşağıdakiler tarafından oluşturulan dönen dairesel blok:

• Doğru y = f(x)
• x ekseni y=0
• x=bir; x=b

Hacim hesaplama formülü şu şekildedir:

Durum 2 : Dönen blok şu şekilde oluşturulur:

• Doğru y = f(x)
• Doğru y = g(x)
• x=bir; x=b

O zaman dönel bir cismin hacmini hesaplama formülü şu şekilde olacaktır:

ile

Oy ekseni etrafında döndürülen dairesel bir bloğun hacmini hesaplayın

Dairesel blok Oy ekseni etrafında dönüyorsa, dönen dairesel bloğun hacmini hesaplamak için aşağıdaki formüller uygulanabilir:

Durum 1 : Dönen blok şu şekilde oluşturulur:

• Doğru x=g(y)
• Dikey eksen (x=0)
• y=c; y=g

O zaman dönel bir cismin hacmini hesaplama formülü şu şekilde olacaktır:

Durum 2 : Dönen blok şu şekilde oluşturulur:

• Doğru x=f(y)
• Denklem x=g(y)
• y=c; y=g

O zaman dönel cismin hacmi şu şekilde olacaktır:

ile

Dönen bir katının hacmini hesaplamak için formüllerin özet tablosu:

1. Ox etrafında dönen S alanı tarafından üretilen Vx:

Yemek tarifi :

2. Ox etrafında dönen S alanı tarafından üretilen Vx:

Yemek tarifi :

Dönen katının hacminin hesaplanmasına örnek

Örnek 1: 

y = sinx eğrisi, x ekseni ve x = 0, x = π (çizim) düz çizgileri ile sınırlanan düzlem şeklinin Öküz ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm

Yukarıdaki teoremdeki formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Örnek 2: 

Eğri ve x ekseni etrafında döndürülen düzlem şeklinin, x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.

Ödül:

Görüyoruz ki:

Tüm x'ler için bu, Ox ekseninin üzerinde bulunan, merkezi O ve yarıçapı R = A olan yarım dairenin denklemidir. Öküz ekseni etrafında döndüğünde, düz şekil merkezi O ve yarıçapı R = A olan bir küre oluşturacaktır (şekil). Yani biz her zaman

 

Yani bu tip problemlerde integral formülünü yazmamıza gerek kalmıyor, ancak kürenin hacmini hesaplama formülünden yola çıkarak sonuca varabiliyoruz.

Örnek 3: 

x = 0 ve x = 1 olan iki düzlem arasında kalan cismin hacmini hesaplayınız; cismin kesit alanı, Öküz eksenine dik düzlem (P) ile apsis noktası x(0≤x≤1) olan noktadan alındığında, iki kenar uzunluğu x ve ln(x2+1) olan bir dikdörtgendir.

Ödül: 

Kesit dikdörtgen olduğundan kesit alanı:

Hesaplamamız gereken hacim şu şekilde:

Örnek 4: y = 3x doğrularıyla sınırlanmış bir düzlem şekli verildiğinde; y = x; x = 0; x = 1 Öküz ekseni etrafında döner. Oluşan dönel cismin hacmini hesaplayınız.

Ödül:

x = 1 doğrusu ile y = x ve y = 3x doğrusunun kesiştiği noktanın koordinatları C(1;1) ve B(3;1) noktalarıdır. y = 3x doğrusu ile y = x doğrusunun kesiştiği noktanın koordinatları O(0;0)'dır.

Dolayısıyla hesaplanacak dönen katının hacmi şudur:

Örnek 5 : y = 2x2 doğrularıyla sınırlanmış bir düzlem şekli verildiğinde; y2 = 4x Öküz ekseni etrafında döner. Oluşan dönel cismin hacmini hesaplayınız.

Ödül:

Eşdeğer zaman kipleriyle. Doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları O(0;0) ve A(1;2) noktalarıdır.

Dolayısıyla hesaplanacak dönen katının hacmi şudur:

Dönen bir cismin hacmini hesaplamayı gerektiren problemlerde, problemi çözebilmek için, her durum için doğru formülü kullanmanız ve limiti belirlerken dikkatli olmanız yeterlidir. İyi şanlar!