Çift fonksiyon nedir? Tek fonksiyon nedir?

Çift fonksiyon nedir ? Sadece çift fonksiyonlar değil , tek fonksiyonlar da büyük ilgi görmektedir. Gelin bu iki kavramı birlikte öğrenelim!

Matematikte fonksiyonlar eksen boyunca simetrilerine göre çift ve tek fonksiyonlar olarak sınıflandırılabilir. Çift fonksiyon, girdisi olumsuzlandığında bile sabit kalan (çıktı x ve -x için aynıdır) ve y ekseni etrafındaki simetriyi yansıtan fonksiyondur. Öte yandan, tek bir fonksiyon, girdisi olumsuzlandığında negatif olur ve orijin etrafında simetri gösterir. Bir f fonksiyonu, f(-x) = f(x) ise, f'nin tanım kümesindeki her x için f'dir. Bir f fonksiyonu , f'nin etki alanındaki her x için f(-x) = -f(x) ise tek fonksiyondur , yani:

• Çift fonksiyon:f(-x) = f(x)
• Tek fonksiyon:f(-x) = -f(x)

Bu yazımızda çift ve tek fonksiyonlar, çift ve tek fonksiyonların tanımı, trigonometride çift ve tek fonksiyonlar, çift ve tek fonksiyonların grafikleri ve bilmeniz gereken birçok içerik ve bilgiyi detaylı bir şekilde ele alacağız.

İçindekiler

• Çift fonksiyon nedir?
• Tek fonksiyon nedir?
• Çift ve tek fonksiyonların grafiği
• Ne çift ne de tek olan fonksiyon nedir?
• Yaygın bir tek-çift fonksiyonunu hatırlayın
• Çift ve tek fonksiyonlar nasıl belirlenir
• Fonksiyonların paritesini incelemeye yönelik alıştırmalar

Çift fonksiyon nedir?

Etki alanı D olan y = f(x) fonksiyonu, aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa çift fonksiyon olarak adlandırılır:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

Örneğin: y = x² fonksiyonu çift fonksiyondur.

Tek fonksiyon nedir?

Etki alanı D olan y = f ( x ) fonksiyonu, aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa tek fonksiyon olarak adlandırılır:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

Örnek: Örnek: y = x fonksiyonu tek fonksiyondur.

Dikkat. İlk koşul 0 hakkında etki alanı simetrik koşulu olarak adlandırılır.

Örneğin, D = (-2;2) kümesi 0 etrafında simetrik bir kümedir, oysa D' = [-2;3] kümesi 0 etrafında simetrik değildir.

R = (−∞;+∞) kümesi simetrik bir kümedir.

Not: Bir fonksiyonun çift ya da tek olması gerekmez.

Örneğin: y = 2x + 1 fonksiyonu ne çift fonksiyondur ne de tek fonksiyondur çünkü:

x = 1'de f(1) = 2.1 + 1 = 3'e sahibiz

x = -1'de f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ f(1) ve f(-1) değerleri ne birbirine eşit ne de zıttır.

Çift ve tek fonksiyonların grafiği

Fonksiyonların bile y eksenini simetri ekseni olarak alan grafikleri vardır.

Tek fonksiyonun grafiği, orijini O olan simetri merkezine sahiptir.

Ne çift ne de tek olan fonksiyon nedir?

Her fonksiyon çift veya tek olarak tanımlanamaz. Bazı fonksiyonlar ne çift ne de tek fonksiyondur, örneğin: y=x²+x, y=tan(x-1),…

Ayrıca hem çift hem tek olan özel bir fonksiyon türü daha vardır. Örneğin, y=0 fonksiyonu

Yaygın bir tek-çift fonksiyonunu hatırlayın

Eşit fonksiyon

y = ax2 + bx + c ancak ve ancak b = 0 ise

İkinci dereceden fonksiyon

y = cosx

y = f(x)

Tek fonksiyon

y = ax + b ancak ve ancak b = 0 ise

y = ax3 + bx2 + cx + d ancak ve ancak b = d = 0 ise

y = sinx; y = tanx; y = cotx

Diğer bazı durumlar

F(x) bir çift fonksiyondur ve tanım kümesinde türevi varsa, türevi tek fonksiyondur.

F(x) tek fonksiyondur ve tanım kümesinde türevi varsa türevi çift fonksiyondur.

Tek dereceden polinom fonksiyonu çift fonksiyon değildir.

Çift dereceli polinom fonksiyonları tek fonksiyon değildir.

Çift ve tek fonksiyonlar nasıl belirlenir

Tek-çift fonksiyonunu belirlemek için aşağıdaki adımları gerçekleştiriyoruz:

Adım 1: Etki alanını bulun: D

Eğer ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D ise Üçüncü adıma geçin

Eğer ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D ise, fonksiyon ne çifttir ne de tektir.

Adım 2: x'i -x ile değiştirin ve f(-x)'i hesaplayın

Adım 3: İşareti inceleyin (f(x) ve f(-x)'i karşılaştırın):

° Eğer f(-x) = f(x) ise f fonksiyonu çifttir

° Eğer f(-x) = -f(x) ise f fonksiyonu tektir

° Diğer durumlar: f fonksiyonunun paritesi yoktur

Fonksiyonların paritesini incelemeye yönelik alıştırmalar

Ders 4 sayfa 39 Cebir 10 Ders Kitabı: Aşağıdaki fonksiyonların tek-çift özelliklerini göz önünde bulundurun:

a) y = |x|;

b) y = (x + 2)2;

c) y = x3 + x;

d) y = x2 + x + 1.

Ödül

a) y = f(x) = |x| olsun.

° TXĐ: D = R dolayısıyla ∀x ∈ D için –x ∈ D.

° f(–x) = |–x| = |x| = f(x).

→ Yani y = |x| fonksiyonu çift ​​fonksiyondur.

b) y = f(x) = (x + 2)2 olsun.

° TXĐ: D = R dolayısıyla ∀x ∈ D için –x ∈ D.

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).

→ Dolayısıyla y = (x + 2)2 fonksiyonu ne çifttir ne de tektir.

c) y = f(x) = x3 + x olsun.

° TXĐ: D = R dolayısıyla ∀x ∈ D için –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ Yani y = x3 + x tek bir fonksiyondur.

d) y = f(x) = x2 + x + 1 olsun.

° TXĐ: D = R dolayısıyla ∀x ∈ D için –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)

→ Dolayısıyla y = x2 + x + 1 fonksiyonu ne çifttir ne de tektir.

R'de hem çift hem de tek fonksiyon olarak tanımlanan bir fonksiyon var mıdır?

Ödül:

y = 0 fonksiyonunun R üzerinde tanımlanmış, hem çift hem de tek bir fonksiyon olduğu kolayca görülebilir.

y = f(x) fonksiyonunun bu özelliklere sahip herhangi bir fonksiyon olduğunu varsayalım. O zaman R'deki her x için şuna sahibiz:

F (–x) = f (x) (çünkü f çift bir fonksiyondur);

F (–x) = – f (x) (çünkü f tek bir fonksiyondur).

Bundan, R'deki her x için f(x)=−f(x) olduğunu, yani f(x)=0 olduğunu çıkarabiliriz. Yani y=0, R üzerinde tanımlanmış tek fonksiyondur; yani hem çift hem de tek fonksiyondur.

Çift ve tek fonksiyonlar hakkında sık sorulan sorular

Çift ve tek fonksiyonlar nelerdir?

Eğer tanım kümelerindeki her x için f(x) = f(−x) ise, çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir. Tek fonksiyonlar orijine göre simetriktir, yani tanım kümelerindeki tüm x değerleri için f(−x) = −f(x) olur.

Bir fonksiyonun çift mi tek mi olduğunu nasıl anlarız?

Bir fonksiyon, f(-x) = f(x) ise çift fonksiyondur ve f'nin etki alanındaki tüm elemanlar için f(-x) = -f(x) ise tek fonksiyondur. Eğer bu özelliklerden hiçbirini sağlamıyorsa ne tektir ne de çift.

Tek ve çift periyodik fonksiyonlar arasındaki fark nedir?

Tek ve çift periyodik fonksiyonlar arasındaki fark: Çift bir fonksiyon, tanım kümesindeki tüm x değerleri için f(−x) = f(x) eşitliğini sağlarken, tek bir fonksiyon f(−x) = −f(x) eşitliğini sağlar.

Çift ve tek fonksiyonların yanı sıra kare sayılar , irrasyonel sayılar, rasyonel sayılar , asal sayılar , doğal sayılar gibi diğer önemli matematik bilgilerini de Quantrimang.com'un Eğitim bölümünde öğrenebilirsiniz .